Đề bài
Lấy một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên của một khối lăng tru. Hình chiếu của mặt đáy của khối lăng trụ trên mặt phẳng đó được gọi là thiết diện thẳng của khối lăng trụ.
Chứng minh rằng thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên.
Lời giải chi tiết
Giả sử khối lăng trụ \({A_1}{A_2}...{A_n}.A_1'A_2'...A_n'\) có thiết diện thẳng là \({B_1}{B_2}...{B_n}\). Ta có thể lấy \({B_1},{B_2},...,{B_n}\)sao cho các đoạn thẳng \({B_1}{A_1},{B_2}{A_2},...,{B_n}{A_n}\) đều lớn hơn \({A_1}A_1'\).
Tịnh tiến khối đa diện \({B_1}{B_2}...{B_n}\).\({A_1}{A_2}...{A_n}\) theo vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{A_1}A_1'} \), ta được khối đa diện \(B_1',B_2',...,B_n'.A_1'A_2'...A_n'\). Hai khối này rõ ràng có thể tích bằng nhau ( do chúng bằng nhau ) và có phần chung là khối đa diện \({A_1}{A_2}...{A_n}\).\(B_1',B_2',...,B_n'\). Do đó, thể tích khối lăng trụ \({A_1}{A_2}...{A_n}.A_1'A_2'...A_n'\) bằng thể tích khối lăng trụ đứng \({B_1}{B_2}...{B_n}\).\(B_1',B_2',...,B_n'\).
Vậy nếu gọi V là thể tích của khối lăng trụ đã cho thì
\(\eqalign{ & V = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{B_1}B_1' = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{A_1}A_1' \cr & \cr} \)
(\({B_1}B_1' = {A_1}A_1'\)vì \(\overrightarrow {{B_1}B_1'} = \overrightarrow {{A_1}A_1'} = \overrightarrow v ).\)
Hạ \(\overrightarrow {A_1'H} \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) thì \(A_1'H\) bằng chiều cao h của khối lăng trụ.
Khi đó góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện thẳng \({B_1}{B_2}...{B_n}\) và mặt phẳng đáy của khối lăng trụ bằng góc giữa hai đường thẳng \({A_1}A_1'\)và \(A_1'H\).
Gọi góc này là \(\alpha \) thì \(h = A_1'H = {A_1}A_1'cos\alpha .\)
Ta có thiết diện thẳng \({B_1}{B_2}...{B_n}\) là hình chiếu của đa giác đáy \({A_1}{A_2}...{A_n}\) trên \(mp\left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)\).
Vậy thể tích của khối lăng trụ là :
\(\eqalign{ & V = {S_{{A_1}{A_2}...{A_n}}}.A_1'H \cr &= {{{S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}} \over {cos\alpha }}{A_1}A_1'cos\alpha \cr & = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{A_1}A_1'(đpcm). \cr} \)
Một số tác giả, tác phẩm, nghị luận văn học, xã hội tham khảo
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Giáo dục công dân lớp 12
PHẦN 1: LỊCH SỬ THẾ GIỚI HIỆN ĐẠI TỪ NĂM 1945 ĐẾN NĂM 2000
Unit 4. School Education System
Bài 5. Lịch sử hình thành và phát triển lãnh thổ (tiếp theo)
Chatbot GPT