Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11

1. Nội dung câu hỏi

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A­₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh OA² = OM² + ON² + OP².

b) Áp dụng ý a để chứng minh $OA=\sqrt{\frac{O{A}_1^2+O{A}_2^2+O{A}_3^2}{2}}$ .

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²) 

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP². 

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃ 

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: $O{A}_3^2+O{A}_2^2+O{A}_1^2=2O{A}_2$ .

Suy ra $OA=\sqrt{\frac{O{A}_1^2+O{A}_2^2+O{A}_3^2}{2}}$ .

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: $OA=\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2}{2}}=\sqrt{7}$  (cm).