Bài 4 trang 231 SBT đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng sin4(x + kπ/2) = sin4x với k ∈ Z.

Từ đó vẽ đồ thị của hàm số

y = sin4x; (C₁)

y = sin4x + 1. (C₂)

Lời giải chi tiết:

Ta có sin4(x + kπ/2) = sin(4x + k2π) = sin4x với k ∈ Z.

Từ đó suy ra hàm số y = sin4x là hàm số tuần hoàn với chu kì π/2.

Vẽ đồ thị hàm số y = sin4x.

Xét trên một chu kì \(T = \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) ta có:

Đồ thị hàm số y = sin4x đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {\frac{\pi }{8};1} \right),\left( {\frac{\pi }{4};0} \right),\) \(\left( {\frac{{3\pi }}{8}; - 1} \right),\left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\)

Vì hàm số y = sin4x (C₁) là hàm số lẻ nên đồ thị của nó có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số y = sin4x + 1 (C₂) có được từ việ tịnh tiến đồ thị (C₁) lên 1 đơn vị như sau:

Xác định giá trị của m để phương trình: sin4x + 1 = m (1)

- Có nghiệm

- Vô nghiệm

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Số nghiệm của phương trình \(\sin 4x + 1 = m\) bằng số giao điểm của đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) với đường thẳng \(y = m\).

Quan sát đồ thị ta thấy,

Phương trình có nghiệm khi \(0 \le m \le 2\).

Phương trình vô nghiệm khi \(m > 2\) hoặc \(m < 0\).

Cách 2:

Vì sin4x + 1 = m ⇔ sin4x = m – 1

Mà -1 ≤ sin4x ≤ 1 nên -1 ≤ m – 1 ≤ 1

⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

Từ đó, phương trình (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ≤ 2 và vô nghiệm khi m > 2 hoặc m < 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại điểm có hoành độ x₀ = π/24.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tiếp tuyến của (C₂) có dạng

y - y_o = y’(x_o)(x - x_o).