Giải các phương trình sau:
LG a
\(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
Phương pháp giải:
Phương trình: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)
TH 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?
TH 2: Khi \(\cos x \ne 0\).
+ Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\)
Ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)
-Vì \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) nên ta đưa phương trình về dạng:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)
+ Bước 2: Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.
+ Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.
Lời giải chi tiết:
\(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\)
+ TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2.1 + 0 - 0 = 0\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
+ TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x = - {3 \over 2}\)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
LG b
\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);
Lời giải chi tiết:
\(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(3.1 - 0 + 0 = 2\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \)
\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \)
\(\Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Cách 2:
Ta có thể đưa về cùng dạng với câu a, như sau:
\(\begin{array}{l}
3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0
\end{array}\)
Sau đó giải phương trình tương tự như câu .
LG c
\(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & \,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr} \)
+TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2 + 0 - 0 = 1\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
+TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr} \)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 5 \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = - 5 \Rightarrow \tan x = - 5\)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 4{\cos ^2}x = 1\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2.2\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0
\end{array}\)
Sau đó thực hiện giải câu hỏi như câu a.
LG d
\(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & \,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr} \)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(0 + 0 - 4 = - 4 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.
Khi \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x = - 4{\tan ^2}x - 4 \cr & \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6 \cr & \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}
2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 .2\sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4{\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 6\cos x\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = \sqrt 3 \sin x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cot x = \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 1 môn Lịch sử lớp 11
CHƯƠNG V - CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Chuyên đề 3. Mở đầu điện tử học
Chương 4. Chiến tranh bảo vệ Tổ quốc và chiến tranh giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước cách mạng tháng Tám năm 1945)
Review 2 (Units 4-5)
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11