Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\).

+ \({G_A}\) là trọng tâm \(\Delta BCD\)

⇒ \({G_A}\) thuộc trung tuyến \(BN\; \subset \;\left( {ANB} \right)\)

⇒ \({AG_A} ⊂ (ANB)\)

\({G_B}\) là trọng tâm \(ΔACD\)

⇒ \({G_B}\) thuộc trung tuyến \(AN ⊂ (ANB)\)

⇒ \({BG_B} ⊂ (ANB).\)

Trong \(\left( {ANB} \right):{\rm{ }}A{G_A}\) không song song với \({BG_B}\)

⇒ \({AG_A}\) cắt \({BG_B}\) tại \(O\)

+ Chứng minh tương tự: \({BG_B}\) cắt \(C{G_C};{\rm{ }}C{G_C}\) cắt \({AG_A}\).

+ \(C{G_C}\) không nằm trong \(\left( {ANB} \right)\; \Rightarrow \;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\;\) không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 \( \Rightarrow {\rm{ }}A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\) đồng quy tại \(O\)

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\)

Vậy \(A{G_A};{\rm{ }}B{G_B}\;;{\rm{ }}C{G_C};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\) (đpcm).