Bài 4 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11

Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \(A_1,A_2\) :

\(A\): "Không ai bắn trúng";

\(B\): "Cả hai đều bắn trúng";

\(C\): "Có đúng một người bắn trúng";

\(D\): "Có ít nhất một người bắn trúng".

Phương pháp giải:

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Lời giải chi tiết:

Phép thử \(T\) được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có \(\overline{A_{k}}\) = "Người thứ \(k\) không bắn trúng", \(k = 1, 2\). Từ đó ta có:

\(A\) = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai cũng không bắn trúng". Suy ra

\(A = {\rm{ }}\overline {{A_1}}  \cap \overline {{A_2}} .\)

Tương tự, ta có \(B\) = "Cả hai đều bắn trúng" = \({{A_1}} \cap {A_2} .\)

Xét \(C\) = "Có đúng một người bắn trúng", ta có \(C\) là hợp của hai biến cố sau:

"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" =\({A_1} \cap {\rm{ }}\overline {{A_2}} \)

"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = \(\overline {{A_1}}  \cap {A_2}\)

Suy ra \(C = \left( {{A_1} \cap \overline {{A_2}} } \right) \cup \left( {\overline {{A_1}}  \cap {A_2}} \right)\)

Tương tự, ta có \(D = {\rm{ }}{A_1}\; \cup {\rm{ }}{A_2}\).

Chứng tỏ rằng \(A\) = \(\overline{D}\); \(B\) và \(C\) xung khắc.

Phương pháp giải:

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Lời giải chi tiết:

Ta có: biến cố \(D\) là "Có ít nhất 1 người bắn trúng" tức là một trong 3 trường hợp:

+ 1 người bắn trúng và 1 người bắn không trúng

+ cả 2 người đều bắn trúng

Như vậy biến cố \(\overline{D}\) là (trường hợp còn lại) "Không có ai bắn trúng" chính là biến cố \(A\).

Vậy \(\overline{D} = A \)

Ta có: \(C\) là biến cố "Có đúng 1 người bắn trúng" nghĩa là 1 người bắn trúng và 1 người không bắn trúng, khác hẳn với biến cố \(B\) là "cả hai đều phải bắn trúng".

Hiển nhiên \(B \cap C = \phi \) 

Vậy theo định nghĩa thì \(B\) và \(C\) xung khắc với nhau.