Bài 4 trang 68 SGK Giải tích 12

a) ${\log_3}5$ và ${\log_7}4$;     

Phương pháp giải:

Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với $1$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\text {Đặt}\,{\log _3}5 = \alpha ;\;\;{\log _7}4 = \beta .\\
{3^\alpha } = {3^{{{\log }_3}5}} = 5 > {3^1} \Rightarrow \alpha > 1\;\left( {\text {Vì}\, 3 > 1} \right).\\
{7^\beta } = {7^{{{\log }_7}4}} = 4 < {7^1} \Rightarrow \beta < 1\;\left( {\text {Vì}\, 7 > 1} \right).\\
\text {Do đó}\, \alpha > \beta .
\end{array}$

Cách khác:

Ta có: ${\log _3}5 > {\log _3}3 = 1;$ ${\log _7}4 < {\log _7}7 = 1$.

Do đó ${\log _3}5 > 1 > {\log _7}4$ hay ${\log _3}5 > {\log _7}4$.

b) $\log_{0,3}2$ và ${\log_5}3$;

Phương pháp giải:

Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với $0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{*{20}{l}}
\text {Đặt}\,{{{\log }_{0,3}}2 = \alpha ;\;{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} {{\log }_5}3 = \beta .}\\
{0,{3^\alpha } = 0,{3^{{{\log }_{0,3}}2}} = 2 > 0,{3^0} \Rightarrow \alpha < 0\;{\kern 1pt} \left( {\;\text {Vì}\, 0 < 0,3 < 1} \right).}\\
{{5^\beta } = {5^{{{\log }_5}3}} = 3 > {3^0} \Rightarrow \beta > 0\;{\kern 1pt} \left( \text {Vì}\, {\;3 > 1} \right).}\\
{\text {Do đó}\, \alpha < \beta .}
\end{array}$

Cách khác:

Ta có: ${\log _{0,3}}2 < {\log _{0,3}}1 = 0$ (vì $0 < 0,3 < 1$).

Lại có ${\log _5}3 > {\log _5}1 = 0$ (vì $5 > 1$).

Do đó ${\log _{0,3}}2 < 0 < {\log _5}3$ hay ${\log _{0,3}}2 < {\log _5}3$.

c) ${\log _2}10$ và ${\log_5}30$.

Phương pháp giải:

Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với $3$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\text {Đặt}\,{\log _2}10 = \alpha ;\;\;{\log _5}30 = \beta .\\
{2^\alpha } = {2^{{{\log }_2}10}} = 10 > {2^3} \Rightarrow \alpha > 3\;\left( {\text {Vì}\, 2 > 1} \right).\\
{5^\beta } = {5^{{{\log }_5}30}} = 30 < {5^3} \Rightarrow \beta < 3\;\left( {\text {Vì}\, 5 > 1} \right).\\
\text {Do đó}\, \alpha > \beta .
\end{array}$

Cách khác:

Ta có: ${\log _2}10 > {\log _2}8 = {\log _2}\left( {{2^3}} \right) = 3$

Lại có ${\log _5}30 < {\log _5}125 = {\log _5}\left( {{5^3}} \right) = 3$.

Do đó ${\log _2}10 > 3 > {\log _3}50$ hay ${\log _2}10 > {\log _3}50$.