Bài 47 trang 133 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.\(162\)). Chứng minh sáu tam giác: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) có diện tích bằng nhau. 

Lời giải chi tiết

Theo tính chất của trung tuyến, suy ra:

 \({S_1} = {S_2}\) (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (1)

 \({S_3} = {S_4}\) (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (2)

 \({S_5} = {S_6}\) (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (3)

Lại có:  \({S_1} + {S_2} + {S_3} = {S_4} + {S_5} + {S_6}\)\(\left( { = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}} \right)\) (4)

Kết hợp (4) với (1), (2), (3) suy ra  \({S_1} + {S_1} + {S_3} = {S_4} + {S_6} + {S_6}\) 

\(\Rightarrow 2{S_1} + {S_3} = {S_4} + 2{S_6}\) 

\(\Rightarrow 2{S_1}=2{S_6}\) (do \({S_3} = {S_4}\)) 

\(\Rightarrow {S_1} = {S_6}\) (4’)

Và  \({S_1} + {S_2} + {S_6} = {S_3} + {S_4} + {S_{5}}\)\(\left( { =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}} \right)\) (5)

Kết hợp (5) với  (1), (2), (3) suy ra  \({S_2} + {S_2} + {S_6} = {S_3} + {S_3} + {S_{5}}\)

\(\Rightarrow 2{S_2} + {S_6} = 2{S_3} + {S_5}\) 

\(\Rightarrow 2{S_2}=2{S_3}\) (do \({S_6}= {S_5}\)) 

\(\Rightarrow {S_2} = {S_3}\) (5’)

Từ (4’),  (5’) và kết hợp với  (1), (2), (3) ta có :

 \({S_1} = {S_2} = {S_3} = {S_4} = {S_5} = {S_6}\)

Hay \(6\) tam giác có diện tích bằng nhau.