Bài 47 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao

Tính thể tích và diện tích toàn phần cửa tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Vì IA = IB = 2a, \(\widehat {AIB}\) =1200 nên \(A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} - 2IA.IB.\cos \) \(\widehat {AIB}\) =12a2, từ đó \(AB = 2a\sqrt 3 \). Do \(CD \bot mp(AIB)\) tại I, IA = IB nên CA = CB. Kết hợp với giả thiết  ABC là tam giác vuông, ta có ABC là tam giác vuông tại C và \(CA = CB = {{AB} \over {\sqrt 2 }} = a\sqrt 6 .\)

Vì ABD là tam giác đều nên \(AD = AB = 2a\sqrt 3 .\)

Từ đó \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = 6{a^2} - 4{a^2} = 2{a^2},\) tức là \(CI = a\sqrt 2 ,\)

\(D{I^2} = A{D^2} - A{I^2} = 12{a^2} - 4{a^2} = 8{a^2},\) tức là \(DI =2 a\sqrt 2 ,\)

\( \bullet \) Hai điểm C, D thuộc đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mp(AIB) tại điểm I nên có hai trường hợp xảy ra.

+) Trường hợp 1. C, D nằm về hai phía đối với điểm I.

Dễ thấy \(CD = 3a\sqrt 2 \), từ đó \(C{D^2} = 18{a^2}\); mặt khác \(A{C^2} + A{D^2} = 18{a^2},\) tức là \(C{D^2} = A{C^2} + A{D^2}.\) Như vậy  \(\widehat {CAD}\) = 900. Tương tự ta cũng có \(\widehat {CBD}\) = 900.

\({V_{ABCD}} = {V_{D.AIB}} + {V_{C.AIB}}\)

\(= {1 \over 3}.{1 \over 2}AI.BI\sin \widehat {AIB}.(ID+IC)\)

\( = {1 \over 3}.{1 \over 2}.2a.2a.{{\sqrt 3 } \over 2}.3a\sqrt 2  = {a^3}\sqrt 6 .\)

Gọi \({S_{tp}}\) là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD thì

\(\eqalign{   {S_{tp}} &= {S_{ACD}} + {S_{BCD}} + {S_{ABC}} + {S_{ABD}}  \cr  &  = 2.{1 \over 2}CD.AI + {{A{C^2}} \over 2} + {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4}  \cr  &  = 3a\sqrt 2 .2a + {1 \over 2}.6{a^2} + 12{a^2}.{{\sqrt 3 } \over 4}  \cr  &  = 6{a^2}\sqrt 2  + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3   \cr  &  = 3{a^2}(1 + \sqrt 3  + 2\sqrt 2 ) \cr} \)

+) Trường hợp 2. C, D nằm về một phía đổi với điểm I.

\(\eqalign{  & {V_{ABCD}} = {V_{DAIB}} - {V_{CAIB}} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 3},  \cr  & {S_{tp}} = 2{a^2}\sqrt 2  + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3   \cr  &  \;\;\;\;\;\;= {a^2}(3 + 2\sqrt 2  + 3\sqrt 3 ). \cr} \)

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

+) Trường hợp 1.

Vì \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\) = 900 nên CD là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, từ đó bán kính mặt cầu phải tìm bằng \({{3a\sqrt 2 } \over 2}\) và diện tích mặt cầu bằng \(18\pi {a^2}.\)

+) Trường hợp 2.

Gọi J là trung điểm của AB thì JA = JB = JC.

Xét đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua J và vuông góc với mp(ABC).

Khi đó, mọi điểm thuộc \({\Delta _1}\) cách đều các điểm A, B, C và  \({\Delta _1}\) nằm trong mp(CDJ) ( do mp(CDJ) vuông góc với mp(ABC)).

Trong mp(CDJ), đường trung trực của CD cắt \({\Delta _1}\) tại điểm O thì OA = OB = OC = OD = R.

Ta có \({\rm{IJ}} = a,CJ = a\sqrt 3 .\) Kẻ \(OH \bot IJ\) thì

\(OH = IK = {{3a\sqrt 2 } \over 2}.\) Xét các tam giác ICJ và HJO, ta có sin C = sin J hay \({{{\rm{IJ}}} \over {JC}} = {{OH} \over {JO}}.\) Vậy \(JO = {{OH.JC} \over {{\rm{IJ}}}} = {{{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a\sqrt 3 } \over a} = {{3a\sqrt 6 } \over 2}.\)

Từ đó \(O{C^2} = C{J^2} + J{O^2} = 3{a^2} + {{54{a^2}} \over 4} = {{66{a^2}} \over 4}.\)

Vậy diện tích mặt cầu phải tìm là \(66\pi {a^2}.\)

Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

+) Trường hợp 1.

Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì dễ thấy \(r = {{3{V_{ABCD}}} \over {{S_{tp}}}},\) từ đó

\(\eqalign{  r = &{{3{a^3}\sqrt 6 } \over {3{a^2}(1 + \sqrt 3  + 2\sqrt 2 )}}  \cr  &  = {{a\sqrt 6 } \over {1 + \sqrt 3  + 2\sqrt 2 }}. \cr} \)

+) Trường hợp 2. 

\(r = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {{a^2}\left( {3 + 2\sqrt 2  + 3\sqrt 3 } \right)}} = {{a\sqrt 6 } \over {3 + 3\sqrt 3  + 2\sqrt 2 }}.\)