Bài 5 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

$cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2$;  

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: $a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$

- Chia cả hai vế cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, khi đó phương trình có dạng:

$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

- Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.$ và sử dụng công thức $\sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \sin \left( {x + \alpha } \right)$ sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Hoặc đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \end{array} \right.$ và sử dụng công thức $\sin x\sin \alpha  + \cos x\cos \alpha  = \cos \left( {x - \alpha } \right)$ và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x + {\pi  \over 3} = {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr   x + {\pi  \over 3} =  - {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr   x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} $

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi $  hoặc $x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

$3sin3x - 4cos3x = 5$;

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5  \cr   &  \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr} $

Đặt $\left\{ \matrix{  \sin \alpha  = {3 \over 5} \hfill \cr   \cos \alpha  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.$, phương trình trở thành

$\eqalign{  & \sin 3x\sin \alpha  - \cos 3x\cos \alpha  = 1  \cr   &   \Leftrightarrow \cos 3x\cos \alpha  - \sin 3x\sin \alpha  =  - 1\cr &\Leftrightarrow \cos \left( {3x + \alpha } \right) =  - 1  \cr   &  \Leftrightarrow 3x + \alpha  = \pi  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow 3x = \pi  - \alpha  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} $  

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right)$  (Với $\sin \alpha  = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha  = {4 \over 5}$).

Chú ý:

Có thể đặt cách khác như sau:

Đặt $\left\{ \matrix{  \cos \beta  = {3 \over 5} \hfill \cr   \sin \beta  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.$, phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
\sin 3x\cos \beta - \cos 3x\sin \beta = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \beta } \right) = 1\\
\Leftrightarrow 3x - \beta = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\beta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array}$

$2sinx + 2cosx - \sqrt2 = 0$;

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & 2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2  = 0  \cr   & \Leftrightarrow 2\sin x + 2\cos x = \sqrt 2  \cr &\Leftrightarrow \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x + \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\cr &  \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \sin x\sin {\pi  \over 4} + \cos x\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = \cos {\pi  \over 3}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x - {\pi  \over 4} = {\pi  \over 3} + k2\pi  \hfill \cr   x - {\pi  \over 4} =  - {\pi  \over 3} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr   x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} $

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi $ hoặc $x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).$

$5cos2x + 12sin2x -13 = 0$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr} $

Đặt $\left\{ \matrix{  {5 \over {13}} = \cos \alpha  \hfill \cr   {{12} \over {13}} = \sin \alpha  \hfill \cr}  \right.$ , khi đó phương trình trở thành

$\eqalign{  & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha  + \sin 2x\sin \alpha  = 1  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr   &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} $

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ với $\sin \alpha  = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha  = {5 \over {13}}$.