Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).

Lời giải chi tiết

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:

\(h=d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).

Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2, -2. -1)\).

Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) : \(\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)

\(K \in d \Rightarrow K\left( {3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t} \right);\,\,K \in \left( \alpha  \right)\) nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta có: 

\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\Rightarrow t=-2\)

\( \Rightarrow K\left( { - 1;2;3} \right)\)