Bài 6 trang 105 sgk hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(I\) và \(K\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh \(SB\) và \(SD\) sao cho \(\dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SK}{SD}.\) Chứng minh:

a) \(BD\) vuông góc với \(SC\); 

b) \(IK\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Chứng minh \(IK // BD\).

Lời giải chi tiết

a) \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)    (1)

Theo giả thiết: \(SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BD\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \( BD ⊥ SC\) (Tính chất một đường vuông góc với 2 cạnh của một tam giác thì vuông góc với cả cạnh còn lại của tam giác ấy)

Cách khác:

Sử dụng định lí ba đường vuông góc:

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \((ABCD)\).

Mà \(BD \bot AC \Rightarrow BD \bot SC\)

b) Ta có: \(\dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SK}{SD}\) theo định lí Ta-lét ta có \(IK//BD\)

Theo a) ta có: \(BD ⊥ (SAC) \Rightarrow IK ⊥ (SAC)\).