Bài 6 trang 123 SGK Hình học 11

Đề bài

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

(A) Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) . Điều kiện cần và đủ để \(a\) và \(b\) chéo nhau là \(a\) và \(b\) không có điểm chung và hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương.

(B) Gọi \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của \(a\) và \(b\) nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

(C) Không thể có một hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) nào có hai mặt bên \((SAB)\) và \((SCD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.

(D) Gọi \({\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \) là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \((α)\) và \(\overrightarrow n \) là vecto chỉ phương của đường thẳng \(Δ\). Điều kiện cần và đủ để \(Δ ⊥ (α)\) là: \(\left\{ \matrix{\overrightarrow {n.} \overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {n.} \overrightarrow v = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

(A) Từ giả thiết \(a\) và \(b\) không có điểm chung và các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng \(a, b\) không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy \(a\) và \(b\) chéo nhau. Ngược lại nếu \(a\) và \(b\) chéo nhau thì rõ ràng \(a\) và \(b\) không có điểm chung và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương.

Mệnh đề (A) đúng.

(B) \(a\) và \(b\) có đường vuông góc chung là \(c\), \(a ⊥ b\).

Ta có: \(\left. \matrix{a \bot b \hfill \cr a \bot c \hfill \cr} \right\} \Rightarrow a \bot (b,c)\)

Tương tự ta có: \(b ⊥ (a, c)\)

Mệnh đề (B) đúng.

(C) Xét trường hợp \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại một điểm \(H\).

Ta lấy \(S\) trên đường thẳng vuông góc với \(mp(ABCD)\) kẻ từ \(H\) thì rõ ràng \((SAB) ⊥(ABCD)\) và \((SCD) ⊥(ABCD)\)

Vậy (C) sai.

(D) Đúng. \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow v \end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot \left( \alpha \right)\)

Chọn đáp án C.