Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t \hfill \cr}  \right.\)

trên mỗi mặt phẳng sau : \(mp(Oxy),mp(Oxz),mp(Oyz),\)

\(mp\left( \alpha  \right):x + y + z - 7 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxz) là

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oyz) là

\(\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên \(mp\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), trong đó \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2;3;1),\) vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (1;1;1).\) Vậy vec tơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) là :

\(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = \left( {\left| \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

      \(= (2; - 1; - 1).\)

Điểm \({M_0}\left( {1; - 2;3} \right)\) thuộc d và cũng thuộc \((\beta)\), do đó phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là:

\(\eqalign{
& 2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0 \cr} \)

Vậy hình chiếu của d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\alpha)\) có phương trình lần lượt là: \(x+y+z-7=0\) và \(2x-y-z-1=0\).

Suy ra phương trình tham số của d là:

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr 
y = {{13} \over 3} - t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\)

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{  x = {7 \over 2} + 3t \hfill \cr  y =  - 2t \hfill \cr  z =  - 2t \hfill \cr}  \right.\)

Trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 2z - 2 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \((\alpha)\) thì \((\beta)\) có phương trình là:

\((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\)

Khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của \((\alpha):x+2y-2z-2=0\) và \((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\).

Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d là:

\({{x - 4} \over 2} = {{y + 1} \over { - 2}} = {z \over { - 1}}\)