Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

a) ${3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}$

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: $a^x=b$.

Lời giải chi tiết:

${3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left( {3 - 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0$ $ \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1$ $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}$ $\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 3} \right\}$.

b) ${25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t=5^x$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Lời giải chi tiết:

${25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ $\Leftrightarrow {(5^{x})^2}-{6.5^x} + 5= 0$

Đặt $t = 5^x$ ($t > 0$).

Phương trình trở thành:

${t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

c) ${4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0$

Phương pháp giải:

Chia phương trình cho $16^x$ và đặt $t = {{\left( \dfrac 3 4 \right)}^x}(t > 0) $.

Lời giải chi tiết:

${4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0$

Chia cả hai vế của phương trình cho $16^x>0$ ta được:

$ \Leftrightarrow 4.\dfrac{{{9^x}}}{{{{16}^x}}} + \dfrac{{{{12}^x}}}{{{{16}^x}}} - 3 = 0$

$ \Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 $

$\Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0$

Đặt $t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0) $ ta được phương trình:

$4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\, \,\text {(TM)} \\t = - 1\, \,\text {(Loại)} \end{array} \right. $ $ \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} = \dfrac{3}{4} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { 1} \right\}$

d) ${\log_7}\left( {x - 1} \right){\log_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_7}x$

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

${\log_7}\left( {x - 1} \right){\log_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_7}x$

Điều kiện: 

$\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$

$\eqalign{
& {\log_7}\left( {x - 1} \right){\log_7}x = {\log_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log_7}\left( {x - 1} \right).{\log _7}x - {\log _7}x = 0\cr 
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr 
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \,\text {(loại)} \hfill \cr 
x = 8 \,\text {(TM)}  \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 8$

e) ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6$

Phương pháp giải:

Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: ${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)$ (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Lời giải chi tiết:

${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6$

Điều kiện : $x > 0$

Ta có:

$\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr} $

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{{3^{1/2}}}}x + {\log _{{3^{ - 1}}}}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x = 3\\
\Leftrightarrow x = {3^3} = 27
\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = 27$

g) $\log {\dfrac {x + 8}  {x - 1}} = \log x$

Phương pháp giải:

Tìm ĐK.

$\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

$\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x > 1$

Khi đó $\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x$ $ \Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4  \,\text {(TM)} \\x =  - 2  \,\text {(Loại)} \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 4$.

Chú ý:

Phương trình ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.$ hoặc $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.$

Do đó các em chỉ cần giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ và giải một trong hai điều kiện $f\left( x \right) > 0$ hoặc $g\left( x \right) > 0$ (điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải).

Ta có thể trình bày lại câu d như sau:

Ta có:

$\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr 
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} $

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = 4$