Bài 8 trang 33 Chuyên đề Toán 11 Cánh diều

1. Nội dung câu hỏi

Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn (O₂; 2R).

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

Chú ý: Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R' = |k|R và có tâm là ảnh của tâm.

Hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và đường tròn tâm O₂ có bán kính gấp 2 lần đường tròn tâm O₁.

- Trên đường tròn (O₁; R) lấy điểm B bất kì.

- Trên đường tròn (O₂; 2R) dựng đường kính CD // O_1­­B.

- BC cắt O₁O₂ tại E.

+) Ta có: O₁B // CO₂ nên theo định lí Thales có $\frac{E{O}_2}{E{O}_1}=\frac{O_{2}C}{O_{1}B}=\frac{2R}{R}=2$.

Suy ra $\overrightarrow{E{O}_2}=2\overrightarrow{E{O}_1}$ nên ta có phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn (O₂; 2R).

+) Nối B với D, ta chứng minh được BD cắt O₁O₂ tại điểm tiếp xúc A của hai đường tròn.

Ta có: $\frac{A{O}_2}{A{O}_1}=\frac{2R}{R}=2$và A nằm giữa hai điểm O₁ và O₂ nên $\overrightarrow{A{O}_2}=-2\overrightarrow{A{O}_1}$ . Do đó, ta có phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn (O₂; 2R).

Vậy có 2 phép vị tự biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn (O₂; 2R).