Bài 8 trang 40 SGK Hình học lớp 12

a) Gọi \(S_1\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \(S_2\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\).

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi Rh\) với \(R;h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

+) Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\) với \(r;l\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Hình trụ có chiều cao \(l = h = r\sqrt3\) và bán kính đáy \(r\) nên diện tích xung quanh hình trụ là:

\[S_1 = 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\]

Với \(M\) là một điểm bất kì thuộc đường tròn \((O)\) thì \(O'M\) là một đường sinh của hình nón ta có: 

\(l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}}  = \sqrt {3{r^2} + {r^2}}  = 2r\)

Hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l=2r\) nên diện tích xung quanh hình nón là:

\[S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2\]

Vậy: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \)

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.

Phương pháp giải:

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

+) Tính thế tích của khối nón: \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) và thể tích của hình trụ: \(V = \pi {r^2}h\)

+) Suy ra thể tích phần còn lại: \({V_2} = V - {V_1}\).

+) Tính tỉ số: \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

Gọi V là thể tích khối trụ ta có: \(V = \pi {r^2}h\)

Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón ta có: \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Gọi \(V_2\) là thế tích phần còn lại ta có: \({V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{2}{3}\pi {r^2}h\)

Vậy tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \dfrac{1}{2}\).

Cách khác:

Tính trực tiếp như sau:

Thể tích khối trụ là:

\({V_{\text{trụ}}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.r\sqrt 3  = \pi {r^3}\sqrt 3 \)

Thể tích khối nón là:

\({V_{\text{nón}}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3  = \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:

\(V = {V_{\text{trụ}}} - {V_{\text{nón}}} = \pi {r^3}\sqrt 3  - \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\)

Mặt xung quanh của hình nón chia khối tru thành hai phần, tỉ số thể tích hai phần đó là:

\(\frac{V}{{{V_{\text {nón}}}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}:\frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = 2\)