Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Xác định $m$ để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên tập xác định $ \Leftrightarrow f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Lời giải chi tiết:

$y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1$

Tập xác định: $D =\mathbb R$

$y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1)\\ = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)$

Hàm số đồng biến trên $D =\mathbb R $ $⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R$

$⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R$

$⇔ Δ’  \leq 0 $. Mà $ Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)$

$ ⇔ m^2– 2m + 1  \leq 0 \\  ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.$

(Vì ${\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$ nên ${\left( {m - 1} \right)^2} \le 0$ chỉ xảy ra khi $m-1=0$)

b) Với giá trị nào của tham số $m$, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

Phương pháp giải:

Hàm số có một cực đại và một cực tiểu $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

$⇔$ phương trình $y’= 0$ có hai nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$⇔ \Delta' >0$. Mà $ Δ’ = m^2– 1.(2m - 1)$

$ ⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.$

c) Xác định $m$ để $f’’(x)>6x.$

Phương pháp giải:

Tính $f''(x)$ sau đó giải bất phương trình $f’’(x)>6x.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1$

$\Rightarrow f'(x)= 3x^2– 3.2mx+ 3(2m-1) = 3x^2 -6mx + 3(2m-1)$

$\Rightarrow f’’(x) = 6x – 6m $

Để $f''(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x$

$⇔ -6m > 0$

$⇔ m < 0.$