Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4. Hai mặt phẳng song song
Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ôn tập chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:
a) \(AB ⊥ CD\);
b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0\)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)
\end{array}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2})\)
\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)
\(={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)\)
\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow AB ⊥ MN\).
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} \\
= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - A{C^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - AB.AC\cos \widehat {BAD} - A{C^2} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{B^2}\cos {{60}^0} - A{B^2} + A{B^2}\cos {{60}^0}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}.0 = 0\\
\Rightarrow MN \bot CD
\end{array}\)
CHƯƠNG VII - MẮT. CÁC DỤNG CỤ QUANG
Chuyên đề II. Truyền thông tin bằng sóng vô tuyến
PHẦN HAI. LỊCH SỬ THẾ GIỚI HIỆN ĐẠI (Phần từ năm 1917 đến năm 1945)
Chuyên đề 1: Phân bón
Chương 2. Chương trình đơn giản
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11