Bài 82 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Đề bài

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

\(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0,ABC \ne 0\)

và điểm M₀(x₀,y₀,z₀) không thuộc \(\left( \alpha  \right)\). Các đường thẳng qua M₀ lần lượt song song với các trục tọa độ cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại \({M_1},{M_2},{M_3}.\) Tính thể tích khối tứ diện \({M_0}{M_1}{M_2}{M_3}.\)

Lời giải chi tiết

Gọi d₁ là đường thẳng qua M₀ (x₀ ; y₀ ; z₀) và song song với trục Ox thì d₁ có vectơ chỉ phương là (1 ; 0 ; 0). Ta có phương trình của d₁ là

\({d_1}:\left\{ \matrix{  x = {x_o} + t \hfill \cr  y = y_o \hfill \cr  z = {z_o}. \hfill \cr}  \right.\)

Gọi M₁ là giao điểm của d₁ với mp(\(\alpha \)). Toạ độ (x; y; z) của M₁ thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  x = {x_o} + t \hfill \cr  y = y_o \hfill \cr  z = {z_o} \hfill \cr  Ax + By + Cz + D = 0 \hfill \cr}  \right.\)

    \(\eqalign{  &  \Rightarrow {M_1} = \left( {{x_o} - {{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A};{y_o};{z_o}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {M_O}{M_1} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A}} \right|. \cr} \)

Tương tự, gọi d₂ là đường thẳng đi qua M₀ và song song với Oỵ, d₂ cắt (\(\alpha \)) tại M₂ thì

\({M_O}{M_2} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over B}} \right|.\)

Gọi d₃ là đường thẳng đi qua M₀ và song song với Oz, d₃ cắt (\(\alpha \)) tại M₃ thì

\({M_O}{M_3} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over C}} \right|.\)

Dễ thấy M_oM₁, M_oM₂, M_oM₃ đôi một vuông góc, do đó

\({V_{{M_o}{M_1}{M_2}{M_3}}} = {1 \over 6}{M_o}{M_1}.{M_o}{M_2}.{M_o}{M_3} \)

                     \(= {{{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}^3}} \over {6.\left| {A.B.C} \right|}}.\)