Bài 83 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \) = (0 ; 3 ; -1) và \(\overrightarrow {n'} \)  = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :

\(\overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {1;1;3} \right).\)

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) của d là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2 ; 1 ; -1).

Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\) nên \(d \bot d'.\)

Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).

Lời giải chi tiết:

Ta lấy một điểm A nào đó thuộc \(d'\). Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right) \in d'.\). Vì d\( \bot \) d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua \(d'\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :

\( 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0\)

\( \Leftrightarrow  2x + y- z- 9 = 0.\)

Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2{\rm{  -  }}t \hfill \cr  2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right).\)

Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình

                         z = m (m\( \ne \)0).

Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2 - t \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M = \left( {5 - 2m;1 - m;m} \right).\)

Toạ độ giao điểm \(M'\)(x ; ỵ ; z) của \(d'\) và (Q) thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  3y - z - 7 = 0 \hfill \cr  3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow M' = \left( {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right).\)

Gọi I là trung điểm của \(MM'\)  thì \(I = \left( {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right).\)

Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{  x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr  x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right.;\)

bỏ đi điểm \(\left( {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right)\) (ứng với m = 0).