Bài 87 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2

Đề bài

Lấy cạnh \(BC\) của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \(BC\). Cho biết cạnh \(BC = a\), hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính \(R\), số đo \(n^\circ \) là \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\)

+) Công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là độ dài cạnh đáy, \(h\) là chiều cao ứng với cạnh đáy.

+) Diện tích hình viên phân = Diện tích cung tròn \(MqB\) - Diện tích tam giác \(OMB.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(D,E\) lần lượt là giao của hai cạnh \(AB,AC\) với nửa đường tròn đường kính \(BC\) có tâm \(O\) là trung điểm \(BC.\)

Bán kính nửa đường tròn này là \(R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Nối \(OE;OD.\) Xét tam giác \(OBE\) có \(OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) và \(\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta OBE\) là tam giác đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)

Tương tự ta có \(\Delta OCD\) đều cạnh \(\dfrac{a}{2}.\)  

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}}\)

Diện tích hình quạt \(BOE\) có bán kính \(R = OB = \dfrac{a}{2}\) và số đo cung \(BE = \widehat {BOE} = 60^\circ \)  là \({S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}\)

Kẻ \(EH \bot OB\) tại \(H\) suy ra \(H\) là trung điểm của \(OB\) (vì tam giác \(OEB\) đều nên \(EH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra \(OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.\)

Xét tam giác \(EHO\) vuông tại \(H,\) theo định lý Pytago ta có \[EH = \sqrt {E{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a\]

Diện tích tam giác \(EOB\) là \({S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\) 

Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là \({S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}\)

Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là \({S_2} = {S_{qDOC}} - {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)}}{{48}}.\) 

Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:

\(S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right ).\)