Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ. Chứng minh D nằm trên đường tròn (O).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \).
+) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \).
+) Chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \)
+) Tính \(\widehat {BDM};\,\,\widehat {MDC}\) theo \(\alpha \), chứng minh \(\widehat {BDC} = \alpha \).
Lời giải chi tiết
Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \).
Ta có: PM // AC nên \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \) (hai góc đồng vị bằng nhau)
Áp dụng định lí Ta-let ta có : \(\dfrac{{PM}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{AB}}\). Mà \(AB = AC \Rightarrow PM = PB\).
Vì D đối xứng M qua PQ nên PQ là trung trực của MD \( \Rightarrow PM = PD\).
\( \Rightarrow PM = PD = PB \Rightarrow P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.
\( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BPM}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\alpha \).
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \)
\( \Rightarrow \widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {MQC} = \dfrac{1}{2}\alpha \) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BDM} + \widehat {MDC} \)\(\,= \dfrac{1}{2}\alpha + \dfrac{1}{2}\alpha = \alpha = \widehat {BAC}\)
\(\Rightarrow \) Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau).
Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐỊA LÍ DÂN CƯ
ĐỊA LÍ KINH TẾ
Đề thi vào 10 môn Toán Trà Vinh
Bài 3. Phân bố dân cư và các loại hình quần cư
Bài 13. Vai trò đặc điểm phát triển và phân bố của dịch vụ