Bài 9 trang 113 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Hãy tính diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC cạnh 12 cm.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC \( \Rightarrow O\) đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đều ABC.

Gọi H là trung điểm BC ta có \(AH \bot BC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đều).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = OA\) và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là \(r = OH\).

Ta có: \(BH = \dfrac{1}{2}BC = 6\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH có:

\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} \)\(\, = 6\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\).

Vì tam giác ABC đều \( \Rightarrow O\) đồng thời là trọng tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = OA = \dfrac{2}{3}AH = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\\r = OH = \dfrac{1}{3}AH = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \({S_1} = \pi {R^2} = \pi {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 48\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

     Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC là \({S_2} = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC cạnh 12 cm là \(S = {S_1} - {S_2} = 48\pi  - 12\pi  = 36\pi\)\(\,  \approx 113,04\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).