Bài 9 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\)

Lời giải chi tiết

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (m là tham số)

a) Xét

\(\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right)\)\(\, = {m^2} - 4m + 8 = {m^2} - 2.2.m + 4 + 4 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m\)

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Nếu \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 - m + m - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow  - 1 = 0\left( {ktm} \right) \Rightarrow {x_1} \ne 1;{x_2} \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 - 2} \right).\left( {{x_2}^2 - 2} \right) = 4\left( {{x_1} - 1} \right).\left( {{x_2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}^2.{x_2}^2 - 2{x_1}^2 - 2{x_2}^2 + 4 = 4\left( {{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4 - 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} - 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 2.{m^2} + 4.m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 2{m^2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 4\\ \Leftrightarrow m =  \pm 2\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) hoặc \(m = -2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.