Bài 93 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = {\rm{ }}\left( {7{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   3 & { - 1}  \cr   0 & { - 7}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 1} & 2  \cr   { - 7} & 7  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & 3  \cr   7 & 0  \cr  } } \right|} \right) \)

                      \(= ( - 21;7; - 21).\)

Lại có \(\overrightarrow {AD}  = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}147 \ne 0\)

Do đó A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {{196} \over 6} = {{98} \over 3}.\)

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I(x{\rm{ }};y;z)\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :

                  \(\left\{ \matrix{  I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr  {IA^2} = I{C^2} \hfill \cr  {IA^2} = I{D^2}. \hfill \cr}  \right.\)

Từ đó suy ra \(x =  - 2,y = 1,z{\rm{ }} =  - 5.\) Vậy \(I = {\rm{ }}\left( { - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1; - 5} \right)\) và R = IA = 7.

Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình : 

\(\left( S \right){\rm{ }}:{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49.\)

Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết:

Dạng tham số của đường thẳng d là :

           \(\left\{ \matrix{  x{\rm{ }} =  - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr  y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr  z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr}  \right.\)

Toạ độ \(\left( {x;y;{\rm{ }}z} \right)\) của giao điểm của d và (S) thoả mãn hệ :

                    \(\left\{ \matrix{  x{\rm{ }} =  - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr  y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr  z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr  {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49. \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  &  =  > {\left( {3t{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {5t - {\rm{ }}12} \right)^2} + {( - {\rm{ }}4t + 14)^2} = 49  \cr  &  \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 2 \hfill \cr  t = 3. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

+) Khi t = 2 thì \(x = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }} =  - 1{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\), ta được điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

+) Khi t = 3 thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }};y = {\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} =  - 3\), ta được điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

Vậy cắt (S) tại hai điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M. Khi đó, (P) đi qua điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = \overrightarrow {IM}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }}; - 2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình của (P) là:

\(3\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 2(y{\rm{ }} + 1){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 11 = 0.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại N. Khi đó, mp(Q) đi qua điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {IN}  = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vậy phương trình của (Q) là :

\(6(x - {\rm{ }}4) + 3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right) + {\rm{ }}2\left( {z{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 30 = 0.\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có

\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {18 - 6 + 12} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} .\sqrt {36 + 9 + 4} }} = {{24} \over {49}}.\)