Bài tập 1 trang 169 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có AC =12 cm, BD = 9 cm. Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điếm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hinh gì ?

b) Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Lời giải chi tiết

a) N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD (gt)

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của tam giác BCD

\( \Rightarrow NP//BD\) và \(NP = {1 \over 2}BD\,\,\left( 1 \right)\)

M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD (gt)

\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của tam giác ABD

\( \Rightarrow MQ//BD\) và \(MQ = {1 \over 2}BD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MQ//NP\) và \(MQ = NP\)

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Ta có \(MQ//BD\) và \(AC \bot BD\) (ABCD là hình thoi)

\( \Rightarrow MQ \bot AC\)

Mà \(QP//AC\) (QP là đường trung bình của tam giác ACD) \( \Rightarrow MQ \bot QP\)

Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) \(MQ = {{BD} \over 2} = {9 \over 2} = 4,5\,\,\left( {cm} \right)\)

\(QP = {{AC} \over 2}\)  (QP là đường trung bình của tam giác ACD)

\( \Rightarrow QP = {{12} \over 2} = 6\,\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là : \(MQ.QP = 4,5.6 = 27\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)