Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12

$f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}$;

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán: 

$\int {{x^n}dx}  = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $x>0$. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.$

$\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\ = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C\\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.$

$ f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm:

\[\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\]

\[\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\]

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \\= \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} - \dfrac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}} + C \\= \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + e^{-x} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}$

$f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$;

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)}dx \\= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx \\ =  - \cot x + \tan x + C \\= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C \\= \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C \\=  - 2\cot2 x + C.\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}
{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\\
\Rightarrow \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\
= \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}dx} = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} \\
= 4.\left( { - \frac{{\cot 2x}}{2}} \right) + C\\
= - 2\cot 2x + C
\end{array}$

Ở đó sử dụng công thức

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx}  =  - \frac{{\cot \left( {ax + b} \right)}}{a} + C$

$f(x) = sin5x.cos3x$

Phương pháp giải:

Công thức phân tích tích thành tổng:

$\sin a\cos b $$= \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x \\= \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \\= \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ =  - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}$

$f(x) = tan^2x$        

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1$$ \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1$

Nguyên hàm: $\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\  = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}$

$f(x) = e^{3-2x}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\=  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx} \\ =  - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}$

$f(x) =\dfrac{1}{(1+x)(1-2x)}$ ;

Lời giải chi tiết:

Ta có : $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}$ $ = \dfrac{{1 - 2x + 2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} $ $= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}$ $ = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.$

$\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}$$=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx $

$ = \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)$

Đặt $1 + x = t \Rightarrow dx = dt$

$ \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \int {\dfrac{1}{t}dt} $ $ = \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}$

Đặt $1 - 2x = t \Rightarrow  - 2dx = dt$

$ \Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx}  = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}} $ $ =  - \ln \left| t \right| + {C_2} =  - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right) + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}$

Vậy $\int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C$