LG a
Tính các tích phân.
a) $\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx$
Phương pháp giải:
Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x\,\,khi\,\,x \le 1\\x - 1\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.$
$\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx$
$= \int_0^1 {(1 - x)} dx + \int_1^2 {(x - 1)} dx$
$ = \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$
LG b
b) $\int_0^{{\pi \over 2}} \sin ^2xdx$
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc: ${\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}$
Lời giải chi tiết:
$\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4}\end{array}$
LG c
c) $\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx$
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức: $\int\limits_{}^{} {{e^{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C$
Lời giải chi tiết:
$\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{2x + 1 - x}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {{e^{x + 1}} - {e^{ - x}}} \right)} \right|_0^{\ln 2}\\= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^{ - \ln 2}} - \left( {e - 1} \right)\end{array}$
$\begin{array}{l}
= {e^{\ln 2}}.{e^1} - {\left( {{e^{\ln 2}}} \right)^{ - 1}} - e + 1\\
= 2.e - {2^{ - 1}} - e + 1\\
= 2e - \frac{1}{2} - e + 1\\
= e + \frac{1}{2}
\end{array}$
LG d
d) $\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx$
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc: ${\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}$.
Lời giải chi tiết:
$\begin{array}{l}\,\,\sin 2x\cos ^ 2x = \sin 2x\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\\\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\\\Rightarrow \int\limits_0^\pi {\sin 2x\cos ^2xdx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x} \right)dx} \\= \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{{16}}\cos 4x} \right)} \right|_0^\pi \\= - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}} - \left( { - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0\end{array}$
CHƯƠNG 6. KIM LOẠI KIỀM, KIM LOẠI KIỀM THỔ, NHÔM
Bài 30. Vấn đề phát triển ngành giao thông vận tải và thông tin liên lạc
CHƯƠNG 9. HÓA HỌC VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN KINH TẾ, XÃ HỘI, MÔI TRƯỜNG - HÓA 12
Địa lí dân cư
Đề kiểm tra 15 phút - Học kì 1 - Ngữ Văn 12