Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M(2;5)\) và trục \(Oy\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) theo công thức: \(y=y'(x_0) (x-x_0)+y_0.\)
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm nghiệm.
+) Tính diện tích hình phẳng thông qua tích phân.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y'=2x.\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^2+1\) tại \(M(2;\, \, 5)\) là: \(y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 5 = 4\left( {x - 2} \right) + 5 = 4x - 3.\)
Phương trình tiếp tuyến là \(y = 4x - 3\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến là: \({x^2} + 1 =4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4= 0 \\ ⇔ (x-2)^2=0 ⇔ x = 2.\)
Do đó diện tích phải tìm là:
\(S=\int_{0}^{2}|x^{2}+1 -4x+3|dx \) \(=\int_{0}^{2}(x^{2}-4x+4)dx\)
\(=\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_0^2 \)
\(=\dfrac{8}{3} \, \, (đvdt)\).
Đề thi học kì 2 mới nhất có lời giải
Bài 31. Vấn đề phát triển thương mai, du lịch
Bài 13. Thực hành: đọc bản đồ địa hình, điền vào lược đồ trống một số dãy núi và đỉnh núi
Bài 21. Đặc điểm nền nông nghiệp nước ta
Chương 4. Polime và vật liệu polime