Bài tập 9 trang 123 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Tính diện tích toàn phần của:

a) Hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 10 cm.

b) Hình chóp lục giác đều, biết cạnh đáy a = 12 cm, cạnh bên b = 20 cm.

Lời giải chi tiết

a) Chiều cao của tam giác đáy là:

\(IB = \sqrt {B{C^2} - I{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {{\left( {{{10} \over 2}} \right)}^2}}  \)\(\,= \sqrt {{{10}^2} - {5^2}}  = \sqrt {75} (cm)\)

Diện tích đáy của hình chóp là:

\({S_d} = {1 \over 2}BI.AC = {1 \over 2}\sqrt {75} .10 \)\(\,= 5\sqrt {75} (c{m^2})\)

Kẻ \(SH \bot BC\) tại H

∆SBC cân tại S => SH là đường trung tuyến

=> H là trung điểm của BC \( \Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = 5(cm)\)

∆SBH vuông tại H có \(S{H^2} + H{B^2} = S{B^2}\) (định lí Py-ta-go)

\( \Rightarrow S{H^2} + {5^2} = {10^2} \Rightarrow S{H^2} = 75 \)

\(\Rightarrow SH = 5\sqrt 3 (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình chóp:

\({S_{xq}} = p.d = {1 \over 2}.3BC.SH \)\(\,= {1 \over 2}.3.10.\sqrt {75}  = 15\sqrt {75} (c{m^2})\)

Diện tích toàn phần của hình chóp:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 15\sqrt {75}  + 5\sqrt {75} \)\(\, = 20\sqrt {75} (c{m^2})\)

b) Vì MNOPQR là lục giác đều, nên các tam giác MHN, NHO, OHP, PHQ, QHR và RHM là sáu tam giác đều bằng nhau

Đường cao \(HK = \sqrt {H{R^2} - K{R^2}} \)\(\, = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}}  = \sqrt {108} (cm)\)

Diện tích đáy của hình chóp:

\({S_d} = 6{S_{MHR}} = 6.{1 \over 2}KH.MR\)\(\, = 3.\sqrt {108} .12 = 36\sqrt {108} (c{m^2})\)

Đường cao của mỗi mặt bên hay trung đoạn của hình chóp đều:

\(d = SK = \sqrt {S{R^2} - K{R^2}} \)\(\, = \sqrt {{{20}^2} - {6^2}}  = 2\sqrt {91} (cm)\)

Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

\({S_{xq}} = p.d = {1 \over 2}.6MR.SK \)\(\,= 3.12.2\sqrt {91}  = 72\sqrt {91} (c{m^2})\)

Diện tích toàn phần của hình chóp đều là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 72\sqrt {91}  + 36\sqrt {108}\)\(\,  \approx 1060,96(c{m^2})\)