Câu 11 trang 214 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên \(n \ge 2\) và mọi số thực x thỏa mãn \(\left| x \right| < 1\)

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\)

 

Lời giải chi tiết

Khi \(n = 2,\) bất đẳng thức đúng vì

\({\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^2} = 2\left( {1 - {x^2}} \right) < 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} < 1} \right)\)

Giả sử \(n \ge 2,\)ta có:

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\,,\left( {\,\left| x \right| < 1} \right)\)               (1)

Ta cần chứng minh

\({\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left( {\left| x \right| < 1} \right)\)                 (2)

Thật vậy, do \(\left| x \right| < 1\) nên \(0 < 1 - x < 2\) và \(0 < 1 + x < 2;\) Từ đó ta có

\(\eqalign{ & {\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left( {1 - x} \right)^n}\left( {1 - x} \right) + {\left( {1 + x} \right)^n}\left( {1 + x} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, < 2\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n} + \left( {1 + x} \right)} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \)

 
Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi