Bài 1.34 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Phương trình

$\left( {\cos \alpha  + 3\sin \alpha  - \sqrt 3 } \right){x^2} $$+ \left( {\sqrt 3 \cos \alpha  - 3\sin \alpha  - 2} \right)x $$+ \sin \alpha  - \cos \alpha  + \sqrt 3  = 0$

có nghiệm x = 1

Phương pháp giải:

Thay x=1 vào vế trái phương trình.

Lời giải chi tiết:

$x = 1$ là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}
\cos \alpha + 3\sin \alpha - \sqrt 3 \\
+ \sqrt 3 \cos \alpha - 3\sin \alpha - 2\\
+ \sin \alpha - \cos \alpha + \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt 3 \cos \alpha + \sin \alpha = 2\\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha = 1\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{6}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{6}\sin \alpha = 1\\
\Leftrightarrow \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow \alpha - \frac{\pi }{6} = k2\pi \\
\Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array}$

Phương trình

$\left( {2\sin \alpha  - {{\cos }^2}\alpha  + 1} \right){x^2} $$- \left( {\sqrt 3 \sin \alpha } \right)x + 2{\cos ^2}\alpha  $$- \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\sin \alpha  = 0$

có nghiệm $x = \sqrt 3 $

Phương pháp giải:

Thay $x = \sqrt 3 $ vào vế trái phương trình và giải phương trình thu được tìm $\alpha $.

Lời giải chi tiết:

$x = \sqrt 3 $ là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}
\left( {2\sin \alpha - {{\cos }^2}\alpha + 1} \right).3\\
- \sqrt 3 \sin \alpha .\sqrt 3 + 2{\cos ^2}\alpha \\
- \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\sin \alpha = 0\\
\Leftrightarrow 6\sin \alpha - 3{\cos ^2}\alpha + 3\\
- 3\sin \alpha + 2{\cos ^2}\alpha \\
- 3\sin \alpha + \sqrt 3 \sin \alpha = 0\\
\Leftrightarrow - {\cos ^2}\alpha + \sqrt 3 \sin \alpha + 3 = 0\\
\Leftrightarrow - \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) + \sqrt 3 \sin \alpha + 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + \sqrt 3 \sin \alpha + 2 = 0
\end{array}$

Ta có:

$\Delta  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4.1.2 =  - 5 < 0$ nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy không có số $\alpha $ nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.