Bài 1.37 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$2{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x$

Lời giải chi tiết:

Những giá trị của $x$ mà $\cos x = 0$ thì $\sin x =  \pm 1$ nên không có nghiệm của phương trình đã cho .

Với $\cos x \ne 0$ , chia hai vế của nó cho ${\cos ^3}x$ , ta được

$\begin{array}{l}
2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x - 1 = 0\\
{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}$

$3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} $

$= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}$

$\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}$

Phương trình đã cho trở thành:

$3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}$$ - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)$

Với điều kiện $\cos {x \over 2} \ne 0$ , chia hai vế của (*) cho ${\cos ^3}{x \over 2}$ thì được phương trình

$3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0
\end{array}$

$ \Leftrightarrow $ $\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi $ và $x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi $.