Bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: $\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow \sin 4x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
2\cos x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
\cos x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4},x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi $

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 2x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k\pi \\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,x = k{\pi  \over 2}$

$\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta biến đổi phương trình đã cho như sau (để ý: $\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x$):

$\eqalign{
& \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + 2\cos \left( {x + 4x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\left( {\cos 4x\cos x - \sin 4x\sin x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 4x\cos x - 8{\sin ^2}x\cos x\cos 2x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos 4x - 4{{\sin }^2}x\cos 2x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 2\left( {1 - \cos 2x} \right)\cos 2x} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left( {4{{\cos }^2}2x - \cos 2x - 1} \right) = 0 \cr} $

+) $\cos x = 0 $ $\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi $

+) $4{\cos ^2}x - \cos 2x - 1 = 0 $ $\Leftrightarrow \cos 2x = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}$

Do $\left| {{{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}} \right| < 1$ nên có các số $\alpha $ và $\beta $ sao cho $\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}$ và $\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}$. Từ đó:

$\cos 2x = {{1 - \sqrt {17} } \over 8} $$\Leftrightarrow 2x =  \pm \alpha  + k2\pi $ $ \Leftrightarrow x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi $

$\cos 2x = {{1 + \sqrt {17} } \over 8} \Leftrightarrow 2x =  \pm \beta  + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi $

Kết luận: Phương trình đã cho  các  nghiệm $x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi $ và $x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi ,$với $\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}$ và $\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}$.

$\cos 22x + 3\cos 18x $$+ 3\cos 14x + \cos 10x = 0$

Lời giải chi tiết:

Vế trái phương trình được biến đổi thành:

$\eqalign{
& \left( {\cos 22x + \cos 10x} \right) + 3\left( {\cos 18x + \cos 14x} \right)\cr& = 2\cos 16x\cos 6x + 6\cos 16x\cos 2x \cr 
& = 2\cos 16x\left( {\cos 6x + \cos 2x + 2\cos 2x} \right)\cr& = 2\cos 16x\left( {2\cos 4x\cos 2x + 2\cos 2x} \right) \cr 
& = 4\cos 16x\cos 2x\left( {\cos 4x + 1} \right) \cr&= 8\cos 16x{\cos ^3}2x \cr} $

Vậy phương trình đã cho tương đương với

$\cos 16x{\cos ^3}2x = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 16x = 0 \hfill \cr 
\cos 2x = 0 \hfill \cr} \right. $$\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {32}} + k{\pi \over {16}} \hfill \cr 
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.$