Giải các phương trình sau:
LG a
$\tan {x \over 2}\cos x - \sin 2x = 0$
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Với điều kiện $\cos {x \over 2} \ne 0,$ ta biến đổi phương trình đã cho thành
$\cos x\left( {\tan {x \over 2} - 2\sin x} \right) = 0$ hay $\cos x\sin {x \over 2}\left( {1 - 4{{\cos }^2}{x \over 2}} \right) = 0$
Lời giải chi tiết:
ĐK: $\cos {x \over 2} \ne 0$. Khi đó,
$\tan {x \over 2}\cos x - \sin 2x = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\cos x - 2\sin x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {\tan \frac{x}{2} - 2\sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x.\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} - 4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \frac{x}{2}}} - 4\cos \frac{x}{2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {1 - 4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {1 - 4.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( { - 1 - 2\cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin \frac{x}{2} = 0\\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = k2\pi \\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi \over 2} + k\pi $
LG b
${\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x\cos 4x + {\cos ^6}x = 1$
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức dễ thấy:
${a^6} + {b^6} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^3} - 3{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
Lời giải chi tiết:
$x = {{k\pi } \over 2}$
Ta có:
$\eqalign{
& {\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x\cos 4x + {\cos ^6}x = 1 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} \cr&- 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\cr& + 3{\sin ^2}x\cos x = 1 \cr
& \Leftrightarrow - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\cos x = 0 \cr} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x\cos x\left( {1 - \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}$
LG c
${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: ${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$
$\Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {{{\sin }^2}x-{{\cos }^2}x} \right) = {{\sqrt 2 } \over 8}$
$ \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x = - {{\sqrt 2 } \over 8}$
Lời giải chi tiết:
${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$
$\Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {{{\sin }^2}x-{{\cos }^2}x} \right) = {{\sqrt 2 } \over 8}$
$ \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x = - {{\sqrt 2 } \over 8}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{4}\sin 4x = - \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\
\Leftrightarrow \sin 4x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
4x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $x = - {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 2},x = {{5\pi } \over {16}} + {{k\pi } \over 2}$
LG d
${\sin ^2}x + \sin x\cos 4x + {\cos ^2}4x = {3 \over 4}$
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$\eqalign{
& {\sin ^2}x + \sin x\cos 4x + {{{{\cos }^2}4x} \over 4} + {3 \over 4}{\cos ^2}4x = {3 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {1 \over 2}\cos 4x} \right)^2} = {3 \over 4}\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right)\cr& \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {1 \over 2}\cos 4x} \right)^2} = {3 \over 4}{\sin ^2}4x \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + {1 \over 2}\cos 4x = {{\sqrt 3 } \over 2}\sin 4x \hfill \cr
\sin x + {1 \over 2}\cos 4x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin 4x \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos {\pi \over 6}\sin 4x - \sin {\pi \over 6}\cos 4x = \sin x \hfill \cr
\sin {\pi \over 6}\cos 4x + \cos {\pi \over 6}\sin 4x = \sin \left( { - x} \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin \left( {4x - {\pi \over 6}} \right) = \sin x \hfill \cr
\sin \left( {4x + {\pi \over 6}} \right) = \sin \left( { - x} \right) \hfill \cr} \right. \cr} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x - \frac{\pi }{6} = x + k2\pi \\
4x - \frac{\pi }{6} = \pi - x + k2\pi \\
4x + \frac{\pi }{6} = - x + k2\pi \\
4x + \frac{\pi }{6} = \pi + x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{{7\pi }}{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\
x = - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\
x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $x = {\pi \over {18}} + k{{2\pi } \over 3},x = {{7\pi } \over {30}} + k{{2\pi } \over 5},$ $x = - {\pi \over {30}} + k{{2\pi } \over 5},x = {{5\pi } \over {18}} + k{{2\pi } \over 3}$.
Chương 3. Quá trình giành độc lập của các quốc gia ở Đông Nam Á
Unit 8: Cities of the future
Unit 10: Nature In Danger - Thiên nhiên đang lâm nguy
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Lịch sử lớp 11
Chuyên đề 11.1. Phân bón
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11