Câu 15 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = {90^0}\) , \(AB = 2{\rm{a}},C{\rm{D}} = a,A{\rm{D}} = 3{\rm{a}}\) M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng AD.

a) Xác định vị trí điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.

b) Gọi S là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với mp(ABC) kẻ từ điểm M sao cho SM = AM. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện thu được theo a và x, ở đây \(x = AM\left( {0 < x \le 3{\rm{a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(AM = x\) thì \(DM=3a-x\).

Dễ thấy \(BC = a\sqrt {10} \)

\(\eqalign{  & M{B^2} = 4{{\rm{a}}^2} + {x^2}  \cr  & M{C^2} = {a^2} + {\left( {3{\rm{a}} - x} \right)^2} \cr} \)

Hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 10{a^2} = 2{{\rm{x}}^2} + 14{a^2} - 6ax  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + 2{a^2} = 0  \cr  &  \Rightarrow x = a,x = 2a \cr} \)

Vậy có hai vị trí của M để MB và MC vuông góc với nhau.

b) Vì \(SM \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),AB \bot MA\) nên \(AB \bot SA\) (định lí ba đường vuông góc). Mặt khác \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) // AB.

Do MA = MS, (P) đi qua M và \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) cắt SA tại trung điểm A₁ của SA. Từ đó (P) cắt (SAB) theo giao tuyến A₁B₁ với A₁B₁ // AB; (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN song song với AB. Như vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P) là hình thang vuông M A₁B₁N (tứ giác M A₁B₁N là hình thang vuông MN // A₁B₁, ngoài ta \(AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \({A_1}{B_1} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\), tức là \({A_1}{B_1} \bot M{A_1}\))

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {{A_1}{B_1} + MN} \right).{A_1}M  \cr  & {A_1}{B_1} = {1 \over 2}AB = a,{A_1}M = {1 \over 2}SA = {{x\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Gọi I là giao điểm của AD và BC thì IA = 6a. Ta có

\(\eqalign{  & {{MN} \over {AB}} = {{IM} \over {IA}} \Leftrightarrow {{MN} \over {2{\rm{a}}}} = {{6{\rm{a}} - x} \over {6{\rm{a}}}}  \cr  &  \Rightarrow MN = {{6a - x} \over 3} \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {a + {{6{\rm{a}} - x} \over 3}} \right).{{x\sqrt 2 } \over 2}  \cr  &  = {{\sqrt 2 \left( {9{\rm{a}} - x} \right)x} \over {12}}\,\left( {voi\,0 < x \le 3{\rm{a}}} \right) \cr} \).