Bài 1.6 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hàm số $y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B$ ($A,B,\omega ,\alpha $ là những hằng số, $A\omega  \ne 0$) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ${{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)$ với mọi $x \in R$.

Đặt $\omega x + \alpha  = u$ , ta được $\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u$, với mọi số thực $u$ .

Vậy suy ra $\omega T = k2\pi $ , tức là $T = k{{2\pi } \over \omega },k$ nguyên.

Ngược lại dễ thấy rằng

$A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) $$= A\sin \left( {\omega x + \alpha  + k2\pi } \right)$

$= A\sin (\omega x + \alpha )$

Vậy số $T = {{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}$ là số dương bé nhất thỏa mãn

$A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)$ với mọi $x \in R$.

(tức là $y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)$ là một hàm số tuần hoàn với chu kì ${{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}$ ).

Hàm số $y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B$ ($A,B,\omega ,\alpha $ là những hằng số, $A\omega  \ne 0$) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ${{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}$

Lời giải chi tiết:

T là số mà $A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)$, với mọi $x \in R$ thì

$\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right) $ $= \sin \left( {\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right)$

Đặt $\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2} = u$, ta được $\sin (u + \omega T) = \sin u$ với mọi $u$ , từ đó $\omega T = k2\pi $ tức là $T = k{{2\pi } \over \omega },k$ là số nguyên.

(Cách khác, $A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)$ với mọi $x$, thì khi lấy $x =  - {\alpha  \over \omega }$ , ta có $\cos \omega T = \cos 0 = 1$ , từ đó $\omega T = k2\pi $, tức $T = k{{2\pi } \over \omega },k$ là số nguyên).

Từ đó dễ thấy rằng $y = A\cos (\omega x + \alpha )$ là một hàm số tuần hoàn với chu kì ${{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}$.