Bài 1.9 trang 8 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hàm số $y = A\tan \omega x + B$ ($A,B,\omega $ là những hằng số, $A\omega  \ne 0$) là hàm số tuần hoàn với chu kì ${\pi  \over {\left| \omega  \right|}}$  

Lời giải chi tiết:

Hàm số $y = A\tan \omega x + B$ có tập xác định $D = R\backslash \left\{ {{\pi  \over {2\omega }} + k{\pi  \over \omega }|k \in Z} \right\}$ .

Cần tìm T để $\forall x \in D,x + T$ và $x - T$ đều thuộc D và $A\tan \omega \left( {x + T} \right) + B = A\tan \omega x + B$, tức là $\tan (\omega x + \omega T) = \tan \omega x$.

Rõ ràng $x \in D \Leftrightarrow \omega x = u \in {D_1}$ nên $\tan (u + \omega T) = \tan u$ với mọi $u \in D_1$ khi và chỉ khi $\omega T = k\pi ,k \in Z$ .

Từ đó $T = k{\pi  \over \omega }$ và số T dương nhỏ nhất cần tìm ${\pi  \over {\left| \omega  \right|}}$.

Hàm số $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x \in {D_2},\cot x =  - \tan \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)$, nên $\cot (x + T) = \cot x,\forall x \in {D_2}$ tương đương với $\tan (u + T) = \tan u,\forall u = x + {\pi  \over 2} \in {D_1}$

Từ đó $T = k\pi ,k \in Z$.

Vậy số T dương nhỏ nhất cần tìm là $\pi $.