Bài 2 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11

\(y = 2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - {{\cos x} \over x}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải chi tiết:

a)

\(y' =\left (2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - {{\cos x} \over x}\right)'\)

\(\begin{array}{l}
= 2\left( {\sqrt x \sin x} \right)' - \left( {\dfrac{{\cos x}}{x}} \right)'\\
= 2\left[ {\left( {\sqrt x } \right)'\sin x + \sqrt x .\left( {\sin x} \right)'} \right] - \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'.x - x'\cos x}}{{{x^2}}}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& = 2{1 \over {2\sqrt x }}\sin x + 2\sqrt x\cos x - {{ - x\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \cr 
& = \dfrac{{\sqrt x \sin x}}{x} + 2\sqrt x \cos x + \frac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\cr & = {{x\sqrt x \sin x + 2{x^2}\sqrt x\cos x + x\sin x + \cos x} \over {{x^2}}} \cr 
& = {{x(\sqrt x + 1)\sin x + (2{x^2}\sqrt x + 1)cosx} \over {{x^2}}} \cr} \)

\(\displaystyle y = {{3\cos x} \over {2x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{b)y'  = \dfrac{{3\left( {\cos x} \right)'\left( {2x + 1} \right) - 3\cos x\left( {2x + 1} \right)'}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{ - 3\sin x\left( {2x + 1} \right) - 2.3\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{{ - 6x\sin x - 3\sin x - 6\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}
\end{array}\)

\(\displaystyle y = {{{t^2} + 2\cos t} \over {\sin t}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {2t - 2\sin t} \right)\sin t - \cos t({t^2} + 2\cos t)}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - 2{{\sin }^2}t - {t^2}\cos t - 2{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2}}{{{{\sin }^2}t}}
\end{array}\)

\(y = {{2\cos \varphi  - \sin \varphi } \over {3\sin \varphi  + \cos \varphi }}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\cos \varphi - \sin \varphi \\
v = 3\sin \varphi + \cos \varphi
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u' = - 2\sin \varphi - \cos \varphi \\
v' = 3\cos \varphi - \sin \varphi
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(y = \frac{u}{v} \Rightarrow y'= \left ( \dfrac{u}{v} \right )^{^{'}}\) = \( \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}
u'v - v'u = \left( { - 2\sin \varphi - \cos \varphi } \right).\left( {3\sin \varphi + \cos \varphi } \right) - \\
\left( {3\cos \varphi - \sin \varphi } \right).\left( {2\cos \varphi - \sin \varphi } \right)\\
= - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi - \\
\left( {{{\sin }^2}\varphi + 6{{\cos }^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi } \right)\\
= - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - {\sin ^2}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi \\
= - 7{\sin ^2}\varphi - 7{\cos ^2}\varphi \\
= - 7\left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)\\
= - 7.
\end{array}\)

\( \Rightarrow y'= \frac{-7}{({3\sin \varphi + \cos \varphi})^2}\).

\(y = {{\tan x} \over {\sin x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {\tan x} \right)'\left( {\sin x + 2} \right) - \tan x\left( {\sin x + 2} \right)'}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {\sin x + 2} \right) - \tan x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\sin x + 2}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sin x + 2 - \sin x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sin x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sin x.{{\sin }^2}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{{\sin }^3}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}
\end{array}\)

\(\displaystyle y = {{\cot x} \over {2\sqrt x  - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y'  = \dfrac{{\left( {\cot x} \right)'\left( {2\sqrt x  - 1} \right) - \cot x\left( {2\sqrt x  - 1} \right)'}}{{{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {2\sqrt x  - 1} \right) - \cot x.\dfrac{1}{{\sqrt x }}}}{{{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\)