Đề bài
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính AB, IJ theo a và x.
b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?
Lời giải chi tiết
a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.
Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)
Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)
Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)
b)
+Tam giác ABC có AC = BC
nên tam giác ABC cân tại C,
có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
CI ⊥ AB (3)
Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên
DI ⊥ AB (4)
Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)
Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.
Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)
\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\)
\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Unit 2: Express Yourself
Review 3 (Units 6-8)
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Địa lí lớp 11
Unit 15: Space Conquest - Cuộc chinh phục không gian
Chuyên đề 2. Chiến tranh và hòa bình trong thế kỉ XX
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11