Câu 3 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Lời giải chi tiết

Giả sử có hai cấp số cộng \(({u_n})\) với công sai \(d_1\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với công sai \(d_2\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {d_1}\\{v_{n + 1}} - {v_n} = {d_2}\end{array} \right.\)

Xét dãy \(({a_n})\) với \({a_n}\; = {\rm{ }}{u_n}\; + {\rm{ }}{v_n}\)

Ta có: \({a_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{a_{n\;}} = {\rm{ }}({u_{n + 1}}\; + {\rm{ }}{v_{n + 1}}){\rm{ }}-{\rm{ }}({u_n}\; + {\rm{ }}{v_n})\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ = {\rm{ }}({u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\;){\rm{ }} + {\rm{ }}({v_{n + 1}}\; - {\rm{ }}{v_n})}\\
{ = {\rm{ }}{d_1}\; + {\rm{ }}{d_{2\;}} = {\rm{ }}const}
\end{array}\)

Vậy \((a_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(a_1=u_1+v_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)

Ví dụ:

\(1, 3, 5, 7 ,...\) là cấp số cộng có \(u_1=1\) và \(d_1= 2\)

\(0, 5, 10, 15,...\) là cấp số cộng có \(v_1=0\) và \(d_2= 5\)

\(⇒ (a_n):1, 8, 15, 22 ,...\) là cấp số cộng có \(a_1=1+0=1\) và \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).