PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12

Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

LG a

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  \)

\( = 6.\dfrac{{{x^4}}}{4} - 11.\dfrac{{{x^3}}}{3} + 6.\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\) \(= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)

LG b

b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.\cos^2 2x \) \(\displaystyle = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)

\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 4x}}{4} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 8x}}{8}} \right) + C\\= - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}\)

LG c

c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)

Phương pháp giải:

Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{{1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{{2\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{1}{{2\left( {1 - x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)} dx\\
= \dfrac{1}{2}\left( {  \ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - x} \right| + C} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)

LG d

d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)

Phương pháp giải:

Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa \(e^x.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved