Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.
Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx} \)
\( = 6.\dfrac{{{x^4}}}{4} - 11.\dfrac{{{x^3}}}{3} + 6.\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\) \(= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)
LG b
b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.\cos^2 2x \) \(\displaystyle = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 4x}}{4} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 8x}}{8}} \right) + C\\= - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}\)
LG c
c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)
Phương pháp giải:
Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{{1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{{2\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{1}{{2\left( {1 - x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)} dx\\
= \dfrac{1}{2}\left( { \ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - x} \right| + C} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)
LG d
d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)
Phương pháp giải:
Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa \(e^x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)
Tải 10 đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hoá học 12
Bài 36. Vấn đề phát triển kinh tế - xã hội ở Duyên hải Nam Trung Bộ
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Ngữ văn lớp 12
Bài 4. Lịch sử hình thành và phát triển lãnh thổ