Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.
Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx} \)
\( = 6.\dfrac{{{x^4}}}{4} - 11.\dfrac{{{x^3}}}{3} + 6.\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\) \(= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)
LG b
b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.\cos^2 2x \) \(\displaystyle = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 4x}}{4} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 8x}}{8}} \right) + C\\= - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}\)
LG c
c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)
Phương pháp giải:
Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{{1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{{2\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{1}{{2\left( {1 - x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)} dx\\
= \dfrac{1}{2}\left( { \ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - x} \right| + C} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)
LG d
d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)
Phương pháp giải:
Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa \(e^x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN LỊCH SỬ
Bài 6. Công dân với các quyền tự do cơ bản
Đề kiểm tra giữa học kì 1
Đề kiểm tra 45 phút - Chương 3 – Hóa học 12
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Toán lớp 12