Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = 2{n^3} - 5n + 1$

Lời giải chi tiết:

Với mỗi $n \in N^*,$ ta có

$\eqalign{
 {a_{n + 1}} - {a_n} &= \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] \cr&- \left( {2{n^3} - 5n + 1} \right) \cr 
& = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^3}} \right] - 5\left( {n + 1 - n} \right) \cr 
&  = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right).n + {n^2}} \right] - 5 \cr 
& = 6{n^2} + 6n - 3\cr& = 3.\left( {{n^2} - 1} \right) + 3{n^2} + 6n > 0\,\left( {do\,\,n \ge 1} \right) \cr} $

Vì thế, dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ là một dãy số tăng.

Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ với ${b_n} = {3^n} - n$

Lời giải chi tiết:

Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ là một dãy số tăng.

Xét hiệu ${b_{n + 1}} - {b_{n.}}$

$\eqalign{
& \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left[ {{3^n} - n} \right] \cr 
& = {3^{n + 1}} - 1 - {3^n} \cr 
& = {2.3^n} - 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \cr} $

Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ với ${c_n} = {n \over {{n^2} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ là một dãy số giảm. 

Xét hiệu ${c_{n + 1}} - {c_{n.}}$

${{n + 1} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - {n \over {{n^2} + 1}} < 0$