Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(a\sqrt 2 \)
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).
b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.
Lời giải chi tiết
a. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Khi đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Xét các tam giác SHA, SHB, SHC, SHD có:
\(\widehat {SHA} = \widehat {SHB} = \widehat {SHC} = \widehat {SHD} = {90^0}\) (vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Chung SH
Nên \(\Delta SHA = \Delta SHB = \Delta SHC = \Delta SHD\) (2 cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow HA = HB = HC = HD\)
\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
\( \Rightarrow H\) là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
\(\eqalign{ & S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} \cr&= S{A^2} - {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2}= S{A^2} - {{A{C^2}} \over 4} \cr&= 2{a^2} - {{A{B^2} + B{C^2}} \over 4} \cr & = 2{a^2} - {{4{a^2} + {a^2}} \over 4} = {{3{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow SH = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr} \)
Cách khác:
b. Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H đến mp(SAD).
Vậy khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD.
Tính d(EF ; SK) :
Gọi I là trung điểm của AD
\( \Rightarrow HI \bot AD\)
Mà \(AD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Nên \(AD \bot \left( {SHI} \right)\).
Kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
HJ \bot SI\\
HJ \bot AD\left( {AD \bot \left( {SHI} \right)} \right)
\end{array} \right.\)\( \Rightarrow HJ \bot \left( {SAD} \right)\)
Do đó d(H; (SAD)) = HJ.
Ta có: HJ.SI = SH.HI
\(S{I^2} = S{A^2} - A{I^2} = 2{a^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{7{a^2}} \over 4}\)
Từ đó \(HJ = {{SH.HI} \over {SI}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 7 } \over 2}}} = {{a\sqrt {21} } \over 7}\)
Như vậy, khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD và bằng \({{a\sqrt {21} } \over 7}\)
CHƯƠNG III. SINH TRƯỞNG VÀ PHÁT TRIỂN
Tải 10 đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương VII - Hóa học 11
Chương 6. Lịch sử bảo vệ chủ quyền, các quyền và lợi ích hợp pháp của Việt Nam ở Biển Đông
Chủ đề 2: Kĩ thuật di chuyển và chuyền bóng
Chương 3. Quá trình giành độc lập của các quốc gia ở Đông Nam Á
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11