Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
LG a
$n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right)$ chia hết cho 6
Lời giải chi tiết:
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
$n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) \vdots \,6$ (1)
Với mọi $n \in N^*$
Với $n = 1,$ ta có $n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) = 0.$ Hiển nhiên $0\; \vdots\; 6,$ và vì thế (1) đúng khi $n = 1$
Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in {N^ * }$, tức là $k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) \;\vdots \;6,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$
Thật vậy, do $\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] $
$= k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) + 6{k^2}$ nên từ gải thiết quy nạp suy ra $\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \;\vdots\; 6,$ nghĩa là (1) đúng khi $n = k + 1$
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi $n \in N^*.$
LG b
${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho 133
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\; \vdots \;133$ (2)
Với mọi $n \in N^*,$ bằng phương pháp quy nạp.
Với $n = 1,$ ta có ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} = {11^2} + 12 = 133.$ Vì thế (2) đúng khi $n = 1.$
Giả sử đã có (2) đúng khi $n = k,k \in N^*,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$
Thật vậy ta có
$\eqalign{
& {11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}}\cr& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {12^{2k - 1}}.({12^2} - 11) \cr
& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {133.12^{2k - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} $
Mà ${11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\; \vdots \;133$ (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra
${11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}} \;\vdots \;133$
Nghĩa là (2) đúng khi $n = k + 1$
Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi $n \in N^*$
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Unit 5: Global warming
Phần 1. Vẽ kĩ thuật
Chương 1. Trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng ở sinh vật
Chủ đề 3: Kĩ thuật đá cầu tấn công và chiến thuật tấn công cơ bản
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11