Câu 3.7 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho số nguyên \(n \ge 2\) và cho số thực \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Chứng minh rằng

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_n}\)

Lời giải chi tiết

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với \(n = 2,\) xét hai số thực túy ý \({a_1},{a_2} \in \left( {0;1} \right)\) ta có

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right) \)

\(= 1 - {a_1} - {a_2} + {a_1}{a_2} > 1 - {a_1} - {a_2}\) (do \({a_1},{a_2} > 0\) )

Như thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\)

Xét \(k + 1\) số thực tùy ý \({a_1},{a_2},...,{a_k},{a_{k + 1}}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

Vì k số \({a_1},{a_2},...,{a_k}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\) nên theo giả thiết quy nạp ta có

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}\)

Từ đó, vì \(1 - {a_{k + 1}} > 0,\) suy ra

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) >\)

\(\left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right)\)                 (2)

Lại có

\(\eqalign{
& \left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) \cr 
& = 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}} \cr&+ \left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right){a_{k + 1}} \cr 
& > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (2) và (3) ta được

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) > \)

\(1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\)

Như vậy (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra có điều cần chứng minh theo yêu cầu của để bài.