Bài 4 trang 126 SGK Giải tích 12

a) \(\int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính nguyên hàm để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = 2 – x; \, \,  dv = sinx dx\)

\(\Rightarrow du = -dx; \, \,  v = -cosx\)

Khi đó ta có:

\(\eqalign{
& \int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \cr & = \left( {2 - x} \right)\left( { - \cos x} \right) - \int {\left( { - \cos x} \right)\left( { - dx} \right)} \cr &= (x - 2)cosx - \int {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} } \cr 
& = (x - 2)cosx - s{\rm{inx}} + C \cr} \)

b) \(\displaystyle\int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx = \int {{{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^{{1 \over 2}}}}}} dx \cr 
& = \int {({x^{{3 \over 2}}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{-1 \over 2}}})dx \cr 
& = \dfrac{{{x^{\frac{5}{2}}}}}{{\frac{5}{2}}} + 2.\dfrac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \dfrac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C \cr &= {2 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + {4 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + C. \cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{2}{5}\sqrt {{x^5}} + \dfrac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + 2\sqrt x + C\\
= \dfrac{2}{5}{x^2}\sqrt x + \dfrac{4}{3}x\sqrt x + 2\sqrt x + C
\end{array}\)

c) \(\displaystyle\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({e^{3x}} + 1={({e^x})^3} + 1 \) \(= ({e^x} + 1)({e^{2x}}-{e^x} +1)\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx \cr &  = \int {\dfrac{{\left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}dx} \cr &= \int {\left( {{e^{2x}}-{\rm{ }}{e^x} + {\rm{ }}1} \right)} dx \cr 
& = {1 \over 2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C .\cr} \)

d) \(\displaystyle\int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\cr &   = \int {\dfrac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}}}} \cr &= \int {{{d(x - {\pi \over 4})} \over {2{{\cos }^2}(x - {\pi \over 4})}}} \cr &= {1 \over 2}\tan (x - {\pi \over 4}) + C \cr} \)

Cách khác:

Ở bước đưa vào vi phân các em cũng có thể làm như sau:

Đặt \(t = x - \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow dt = dx\)

\(\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{dx}}{{2{{\cos }^2}\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}}} = \int {\dfrac{{dt}}{{2{{\cos }^2}t}}} \\
= \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} = \dfrac{1}{2}\tan t + C\\
= \dfrac{1}{2}\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) + C
\end{array}\)

e) \(\displaystyle\int {{1 \over {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ta có:

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {\sqrt {1 + x} + \sqrt x }}} dx \cr &  = \int {\dfrac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt x } \right)}}dx}  \cr & = \int {\dfrac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt x }}{{1 + x - x}}dx} \cr &= \int {(\sqrt {1 + x} } - \sqrt x )dx \cr 
& = \int {\left[ {{{(1 + x)}^{{1 \over 2}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right]} dx \cr & = \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C\cr &= {2 \over 3}{(x + 1)^{{3 \over 2}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\\
= \dfrac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - \dfrac{2}{3}x\sqrt x + C
\end{array}\)

g) \(\displaystyle\int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \dfrac{{x + 1 + 2 - x}}{{3\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}} \) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \dfrac{{2 - x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}} \right) \) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\)

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx \cr 
&= {1 \over 3}\int {({1 \over {1 + x}}} + {1 \over {2 - x}})dx \cr 
&  = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {2 - x} \right| + C} \right)\cr 
&= {1 \over 3}\ln |{{1 + x} \over {2 - x}}| + C .\cr}.\)