Bài 4 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên các đoạn thẳng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C’\) khác với \(S\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) và \(h’\) lần lượt là chiều cao hạ từ \(A, A’\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

* Do \(A’H’// AH\) nên bốn điểm \(A, A’; H’\) và \(H\) đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm \(A, S, H\) đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm \(A, A’, S. H\) và \(H’\) đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'H' \bot SH'\\AH \bot SH\\A'H'//AH\end{array} \right. \Rightarrow SH' \equiv SH\)

⇒ Ba điểm \(S, H\) và \(H’\) thẳng hàng.

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác \(SBC\) và \(SB’C’\).

Khi đó ta có \(\displaystyle{{h'} \over h} = {{SA'} \over {SA}}\) (định lý Ta - let) và:

\(\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}=\dfrac{{{S_{SB'C'}}}}{{{S_{SBC}}}} \) \(= \dfrac{{\dfrac{1}{2}SB'.SC'.\sin \widehat {BSC}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Suy ra \(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}}\) \(=\dfrac{{h'}}{h}.\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) \( = \displaystyle{{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\) 

Đó là điều phải chứng minh.

Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.