Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc ∆, \(M ≢ A\), gọi K là trực tâm của tam giác MBC và ∆₁ là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mặt phẳng (MBC). Chứng minh rằng:

a) ∆₁ đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên ∆.

b) ∆₁ cắt ∆ tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của BC thì \(AI \bot BC,MI \bot BC\). Vậy K thuộc MI. Ta cũng có \(BC \bot \left( {MAI} \right)\). Do ∆₁ đi qua K và \({\Delta _1} \bot \left( {MBC} \right)\) nên \({\Delta _1} \bot BC\). Vậy ∆₁ nằm trong mp(MAI). Gọi giao điểm của ∆₁ với AI là H thì \(HK \bot MC\), mặt khác \(BK \bot MC\), từ đó MC vuông góc với (BHK) hay \(MC \bot BH\).

Từ \(\Delta \bot \left( {ABC} \right),\,BH \bot MC\) nên \(BH \bot AC\).

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên \(\Delta\) thì \(\Delta_1\) đi qua điểm cố định là trực tâm H của tam giác ABC.

b) Vì ∆₁ là đường thăngt HK nên ∆₁ cắt ∆ tại điểm N.

Theo câu a), ta có MC vuông góc với (BHK) mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.

Tương tự như trên, ta cũng có \(MB \bot NC\)

Từ ∆AHN đồng dạng ∆AMI, ta có \({{AH} \over {AM}} = {{AN} \over {AI}} \Rightarrow AH.AI = AM.AN\)

Mặt khác \(AH.AI = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}} \over 2}\) .

do đó \(AM.AN = {{{a^2}} \over 2}\)

Ta có: MN = AM + AN

Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi \(AM = AN = {{a\sqrt 2 } \over 2}\).

Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 5. Khoảng cách

Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024